对称性与群的直观演示

用旋转和反射的操作，看看多边形的对称性如何形成循环群 $C_{n}$ 与二面体群 $D_{n}$ 。

选择形状（决定

n

）

旋转次数

r^{k}

（以

2 π / n

为步长） 0°

选择反射

s

（轴对称）

无

竖直轴

水平轴

对角轴

原型

r^{0}

经过

r^{k}

及反射后的形状

当前形状： 正方形，

n = 4

旋转：

r^{0}

，每次

2 p i / 4 = 90 °

，阶为

n

反射： 不使用

s

群关系：

r^{n} = e

，

s^{2} = e

，

s r s = r^{- 1}

—— 形成二面体群

D_{4}

，阶

2 n

灵感来源： 对称操作的组合产生群结构：纯旋转形成循环群

C_{n}

（阶

n

），再加上

n

条反射得到二面体群

D_{n}

（阶

2 n

）。旋转记作

r

，反射记作

s

，关系为

r^{n} = e

、

s^{2} = e

、

s r s = r^{- 1}

。滑动、切换轴即可直观感受这些关系。