数学分析

数学分析基础知识点。

极限

导数、微分

微分学基本定理及导数应用

中值定理

定理1（费马定理） 若（i）函数$f(x)$在$x_0$点的某一邻域$O(x_0,\delta)$内有定义，并且在此邻域内恒有 $$f(x) \leq f(x_0)，$$ 或者 $$f(x) \geq f(x_0)；$$ （ii）函数$f(x)$在$x_0$点可导，则有 $$f^{\prime}(x)=0$$

几何意义： 如果曲线在一点处有极大（小）值，且在该点处有切线，则该切线必定是水平的。

定理2（拉格朗日中值定理，微分学的中值定理） 若函数$f(x)$满足 （i）在$[a,b]$连续； （ii）在$(a,b)$可导， 则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使 $$f^{\prime}(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

• 当$f(a)=f(b)$时，定理也称为罗尔定理。
• 定理结论式可写为$f^{\prime}(a+\theta (b-a)) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 或者$f(b)-f(a) = f^{\prime}(a+\theta (b-a)) (b-a)$，其中，$0<\theta<1$。
• 定理结论的式子称为中值公式或者拉格朗日公式。
• 定理的条件是充分条件。

推论1 若$f(x)$对$(a,b)$内每一点$x$都有$f^{\prime}(x)=0$，则在区间$a,b$内$f(x)$为一常数。

推论2 若两函数$f(x)$和$g(x)$在$(a,b)$内成立 $$f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x)，$$ 则在$(a,b)$内$f(x)=g(x)+c$（$c$为一常数）。

定义（利普希茨Lipschitz条件） 若$f(x)$在$[a,b]$上有定义，且存在常数$L$，使对$[a,b]$上任意两点$x^{\prime}$，$x^{\prime\prime}$， $$|f(x^{\prime}-f(x^{\prime\prime})| \leq L|x^{\prime}-x^{\prime\prime}|$$ 成立，则称$f(x)$在$[a,b]$上满足利普希茨（Lipschitz）条件。

推论3 若$f(x)$在$[a,b]$上存在有界导数，则$f(x)$在$[a,b]$上满足利普希茨条件。

定理3（柯西中值定理） 若$f(x)$与$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，并且$g^{\prime}(x) \neq 0$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使 $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}.$$

泰勒公式

一阶导近似

当$x$与$x_0$充分接近时，$f(x)$可以通过一阶导数进行近似，即 $$f(x) \approx f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0).$$

当$|x|$很小时，常用近似式：

泰勒公式

定理

若$f(x)$在$x=0$点的某个邻域内有直到$n+1$阶连续导数，那么在此邻域内有

$$f(x)=f(0) + {f}^{\prime}(0)x + \frac{{f}^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\dots + \frac{{f}^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x),$$ $$R_n(x) = \frac{{f}^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}, (0<x<\xi).$$

以上就是函数$f(x)$在$x=0$点附近关于$x$的幂函数展开式，称为泰勒展开式，其中$R_n(x)$叫做拉格朗日余项（$R_n(x)$表示为$o(x^n)$时称为佩亚诺余项）。

函数的单调性、凸性与极值

函数的单调性

定理1（函数单调性与导数数正负的关系）

若$f(x)$在$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导，则$f(x)$在$[a,b]$单调增加（或单调减少）的充要条件为在$(a,b)$内$f^{\prime}(x) \geq 0$ （或 $f^{\prime}(x) \leq 0$）。用符号表示为

$$ \begin{aligned} f(x)在[a,b]上 \nearrow \Longleftrightarrow f^{\prime}(x) \geq 0, \newline f(x)在[a,b]上 \searrow \Longleftrightarrow f^{\prime}(x) \leq 0. \end{aligned} $$

函数的极大值和极小值

定义（极值、极值点）

若对于某一点$x_0$，存在$x_0$的一个邻域$(x_0-\delta, x_0+\delta)(\delta>0)$，使对于此邻域中的任意点$x$，都有$f(x) \leq f(x_0)$（或$f(x) \geq f(x_0)$），则称$f(x)$在$x_0$有一极大（小）值$f(x_0)$，$x_0$为极大（小）值点。

• 极值是局部的极值。

定理2（极值必要条件）

若$x_0$是$f(x)$的极值点，那么$x_0$只可能是$f^{\prime}(x)$的零点或者$f(x)$的不可导点。

定理3（极值判别法之一）

设$f(x)$在$(x_0-\delta,x_0)$和$(x_0,x_0+\delta)$（其中$\delta>0$）可导，那么

（i）若在$(x_0-\delta,x_0)$内$f^{\prime}(x)<0$，而在$(x_0,x_0+\delta)$内$f^{\prime}(x)>0$，则$x_0$为极小值点；

（ii）若在$(x_0-\delta,x_0)$内$f^{\prime}(x)>0$，而在$(x_0,x_0+\delta)$内$f^{\prime}(x)<0$，则$x_0$为极大值点；

（i）若在这两个区间内$f^{\prime}(x)$不变号，则$x_0$不是极值点。

定理4（极值判别法之二）

设$f(x)$为一阶、二阶可导，且$f^{\prime}(x_0)=0$，那么

（i）若$f^{\prime\prime}(x_0)<0$，则$f(x_0)$是极大值；

（ii）若$f^{\prime\prime}(x_0)>0$，则$f(x_0)$是极小值。